Comentario

es conveniente calcular el promedio de los resultados o experimentos ponderados por la probabilidad de que suceda cada uno de los redultados pòsibles, es para sumar todos los resultados posibles

Esperanza matematica

En estadística la esperanza matemática (o simplemente esperanza) o valor esperado de una variable aleatoria es la suma del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso. Por ejemplo, en un juego de azar el valor esperado es el beneficio medio.

Si todos los sucesos son de igual probabilidad la esperanza es la media aritmética.


Definición [editar]Para una variable aleatoria discreta con valores posibles y sus probabilidades representadas por la función de masa p(xi) la esperanza se calcula como:


Para una variable aleatoria continua la esperanza se calcula mediante la integral de todos los valores y la función de densidad :


o
La esperanza también se suele simbolizar con

Las esperanzas para se llaman momentos de orden . Más importantes son los momentos centrados .

No todas las variables aleatorias tienen un valor esperado. Por ejemplo, la distribución de Cauchy no lo tiene.

comentario

es una grafica que representa los resultados posibles de un evento asi como la PROBABILIDAD de ocurrencia

arbol de probabilidad

Probabilidad condicionada
En un concurso de televisión, se dispone de 20 coches, para premiar al concursante, de las marcas y colores que se indican en la siguiente tabla:

Rojo Azul Totales
SeatPanda 2 8 10
SeatToledo 7 3 10
Totales 9 11 20


Los coches están colocados aleatoriamente, tras 20 puertas, de forma que el concursante no ve el coche que hay detrás de cada puerta.

El concursante elige un número, entre 1 y 20, y si acierta la marca y el color del coche que hay en la puerta elegida, gana, en caso contrario pierde.

El concurso lo podemos considerar como un experimento aleatorio. Cada resultado es el coche elegido.

Para describir fácilmente todo el proceso vamos a considerar:

Suceso P : El coche es un Seat Panda
Suceso T : El coche es un Seat Toledo
Suceso R : El coche es de color rojo
Suceso A : El coche es de color azul


Así el suceso : "Seat Toledo de color rojo" lo representamos por : T ∩ R y la probabilidad de este suceso, sigue de la tabla :

Rojo Azul Totales
SeatPanda 2 8 10
SeatToledo 7 3 10
Totales 9 11 20



P( T ∩ R ) = 7/20
La probabilidad de que el coche sea un Seat Toledo es :

Rojo Azul Totales
SeatPanda 2 8 10
SeatToledo 7 3 10
Totales 9 11 20



P(T)=10/20 = 1/2
¿Qué ocurre si, una vez que el concursante ha elegido puerta, el presentador, le da la pista de que el coche que hay tras la puerta es rojo?. Tendremos que cambiar la probabilidad al suceso T y al suceso P. A la probabilidad del suceso T cuando se sabe que ha ocurrido R, le llamamos probabilidad condicionada de T, sabiendo que ha ocurrido R y escribimos:

P(T/R)

Para asignar las nuevas probabilidades hemos de ser consecuentes con las propiedades que debe cumplir toda asignación de probabilidades. El nuevo espacio muestral es el señalado en rojo en la tabla siguiente. Por tanto asignamos así las probabilidades:

Rojo Azul Totales
SeatPanda 2 8 10
SeatToledo 7 3 10
Totales 9 11 20



P(T/R) = 7/9 ; P(P/R) = 2/9
De la tabla anterior, siguen fácilmente las siguientes relaciones :



Consideremos ahora el siguiente experimento : Dos urnas, A y B ,la urna A, contiene 3 bolas verdes y 2 bolas rojas, la urna B contiene 2 bolas verdes y 3 bolas rojas.

Se realiza el experimento en dos tiempos, primero se selecciona urna por un procedimiento aleatorio y posteriormente de la urna elegida se extrae una bola.

Para representar, de forma muy adecuada, este tipo de experimentos, se realiza un esquema, llamado : árbol de probabilidades


Cada flecha del diagrama se denomina rama del árbol; a cada rama, asignamos la probabilidad que le corresponde. Un recorrido, desde el comienzo del experimento hasta el final, se llama un camino.

Si sabemos que ha ocurrido el suceso A, tenemos que volver a asignar probabilidades a los distintos caminos; todos los caminos que comienzan por el suceso B, tendrán probabilidad 0 y los que empiezan por el suceso A :



Hay que aceptar por tanto las mismas relaciones entre probabilidades a las que habíamos llegado en el experimento anterior :



Para concretar tenemos que admitir la siguiente definición:

Definición 1. Probabilidad condicionada
De un suceso R sabiendo que ha ocurrido otro A



Y dos teoremas:

Teorema 1. Regla del producto
De la definicion 1, despejando, sigue que:



Teorema 2. Probabilidad total
Si A y B forman un sistema completo de sucesos , la probabilidad de cualquier otro suceso R es:




Sucesos dependientes
Dos sucesos son dependientes si el resultado de uno influye en el otro. Los sucesos A y B son dependientes si y sólo si P(A) es distinto de P(A/B) y P(B) es distinto de P(B/A)


Sucesos independientes
Dos sucesos son independientes si el resultado de uno no influye en el resultado del otro. Los sucesos A y B son independientes si y sólo si P(A)=P(A/B) y P(B)=P(B/A).



Probabilidades a posteriori. Teorema de Bayes.
Vamos a considerar de nuevo, el experimento de las urnas A y B, que contienen bolas verdes y rojas:


Si sabemos que ha salido una bola roja, los caminos posibles en el árbol de probabilidades, quedan reducidos a dos, los señalados en rojo en la imagen anterior; tenemos que reasignar probabilidades, todos los caminos que terminan en bola verde, deberán tener probabilidad 0. ¿Cómo asignamos probabilidades a los caminos que conducen a bola roja?



En resumen podemos enunciar el siguiente resultado :

Teorema de Bayes o de las probabilidades a posteriori

comentario

Si E es un evento de un espacio muestral S y P(E) es la probabilidad de E, entonces se satisfacen los axiomas de la probabilidad es uuna accion que se justifica asi misma no necesaita de una prueba para ser evidente

Axiomas

Un axioma, en epistemología, es una "verdad evidente" que no requiere demostración, pues se justifica a sí misma, y sobre la cual se construye el resto de conocimientos por medio de la deducción; aunque, no todos los epistemólogos están de acuerdo con esta definición "clásica". El axioma gira siempre sobre sí mismo, mientras los postulados y conclusiones posteriores se deducen de este.

En matemática, un axioma no es necesariamente una verdad evidente, sino una expresión lógica utilizada en una deducción para llegar a una conclusión.

Los Axiomas no-lógicos son fórmulas específicas de una teoría y se aceptan solamente por acuerdo. Razonando acerca de dos estructuras diferentes, por ejemplo, los números naturales y los números enteros puede involucrar a los mismos axiomas lógicos, sin embargo, los axiomas no-lógicos capturan lo que es especial acerca de una estructura en particular (o un conjunto de estructuras). Por lo tanto los axiomas no-lógicos, a diferencia de los axiomas lógicos, no son tautologías. Otro nombre para los axiomas no-lógicos es postulado.

Casi cualquier teoría matemática moderna se fundamenta en un conjunto de axiomas no-lógicos, se pensaba que en principio cualquier teoría puede ser axiomatizada y formalizada, posteriormente esto se demostró imposible.